Question

定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=2x²-4x+2，若函數g（x）=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x+2）=f（x）得出函數的周期，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），利用函數的周期性和偶函數的性質，分別作出函數y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用圖象確定a的取值范圍．

解答： 解：由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），
因為偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x），
所以偶函數的周期是2，
由題意得，當x∈[0，1]時，f（x）=2x²-4x+2，
分別作出函數y=f（x）和g（x）=log_a（x+1）的圖象，
已知0＜a＜1不滿足條件，
則a＞1，要使函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
由圖可得，log_a（2+1）＜f（2）=f（0）=2，
即log_a3＜

log

a2 a

，則a²＞3，
解得a＞

3

，
故答案為：a＞

3

．

點評：本題主要考查函數零點應用，利用數形結合，將方程轉化為兩個函數圖象的相交問題是解決此類問題的基本方法．綜合性較強．