Question

【題目】若三次函數（）的圖象上存在相互平行且距離為的兩條切線，則稱這兩條切線為一組“距離為的友好切線組”.已知，則函數的圖象上“距離為4的友好切線組”有（ ）組？

A. 0B. 1C. 2D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

設出切點，求導求得斜率，寫出切線方程，利用距離公式得到關于的方程，解得共有3解，即可得到結論.

∵，則=，設兩切點分別為A(,)，B(,)，若兩切線平行，則的兩根為，，且+=2，

不妨設>，過A的切線方程為y=x-, 過B的切線方程為y=x-,

∴兩條切線距離為d==,

化簡得=1+9，令，顯然u=1為一解，

又-8u+10=0有兩個異于1的正根，

∴這樣的u有3解，而，>，且+=2，即與是一一對應的，

∴這樣的，有3組，故選D.