Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，則此拋物線方程為（　　）

• A．y²=3x
• B．y²=6x
• C．y2=

  3

  2

  x
• D．y²=2x

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線定義以及有一個(gè)角是60°的直角三角形的性質(zhì)，證明|AF|=3|BF|，再根據(jù)|AF|=3，求出|AB|長(zhǎng)，設(shè)出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線中焦點(diǎn)弦公式，把|AB|長(zhǎng)用含p的式子表示，由|AB|=4，解出p值．

解答：解：過點(diǎn)A，B向準(zhǔn)線x=-

p

2

作垂線，垂足分別為C，D，過B點(diǎn)向AC作垂線，垂足為E
∵A，B兩點(diǎn)在拋物線y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直線AB的傾斜角為60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
設(shè)直線AB方程為y=

3

（x-

p

2

），代入y²=2px，得，
3x²-5px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

∴|AB|=x₁+x₂+

P

2

=

5p

3

+

P

2

=4
∴P=

3

2

，∴拋物線方程為y²=3x
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了應(yīng)用拋物線定義求弦長(zhǎng)，做題時(shí)要善于轉(zhuǎn)化．