Question

如圖，已知直線

l

1

：y=2x+m(m＜0)與拋物線C1：y=ax2(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=5都相切，F是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C₁上的一動點，以A為切點作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，FB為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切，可得圓心到直線l₁：y=2x+m的距離等于半徑，從而可求m的值；設l₁與拋物線的相切點為A₀（x₀，y₀），求得切點坐標，代入直線方程，即可求得a的值；
（2）設A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A為切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，從而可得切線l交y軸的B點坐標，利用四邊形FAMB是以FA，FB為鄰邊的平行四邊形，可得

FM

=

FA

+

FB

，由此可證結論．

解答：（1）解：由已知，圓C2：x2+(y+1)2=5的圓心（0，-1），
圓心到直線l₁：y=2x+m的距離d=

|1+m|

22+1

=

5

，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
設l₁與拋物線的相切點為A₀（x₀，y₀），得2ax₀=2，∴x0=

1

a

，y0=

1

a

，
代入直線方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

，
所以m=-6，a=

1

6

…（6分）
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為y=

1

6

x2，焦點F(0，

3

2

)，
設A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A為切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，…（8分）
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標為（0，-

1

6

x12），
所以

FA

=（x₁，

1

6

x

2 1

-

3

2

），

FB

=（0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

），…（10分）
∵四邊形FAMB是以FA，FB為鄰邊的平行四邊形，
∴

FM

=

FA

+

FB

=（x₁，-3）…（13分）
因為F是定點F(0，

3

2

)，所以點M在定直線y=-

3

2

上．     …（15分）

點評：本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定切線方程，屬于中檔題．