Question

設a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點Q₁的橫坐標為a₁（0＜a₁＜a）．從C上的點Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點P_n+1，再從點P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{a_n}．
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關系，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=1，a1≤

1

2

時，證明

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

32

；
（Ⅲ）當a=1時，證明

n

k-1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

3

．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據Q_n，P_n+1，Q_n+1的坐標進而求得an+1=

1

a

•

a

2 n

，進而通過公式法求得{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）把a=1代入an+1=

1

a

•

a

2 n

，根據a1≤

1

2

可推斷a2≤

1

4

，a3≤

1

16

，由于當k≥1時，ak+2≤a3≤

1

16

．進而可知(ak-ak+1)ak+2≤

1

16

(ak-ak+1)=

1

16

(a1-an+1)＜

1

32

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當a=1時，an=

a

2n-1 1

代入

n

k-1

(ak-ak+1)ak+2中，進而根據

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2≤

2n-1

i=1

 (

a

1 i

-

a

1 i+1

)

a

1 2i+2

證明原式．

解答：（Ⅰ）解：∵Qn(an-1，

a

2 n

)，Pn+1(

1

a

•

a

2 n

，

a

2 n

)，Qn+1(

1

a

•

a

2 n

，

1

a2

a

4 n

)．
∴an+1=

1

a

•

a

2 n

，
∴an=

1

a

•

a

2 n-1

=

1

a

(

1

a

•

a

2 n-2

)2=(

1

a

)1+2

a

22 n-2

=(

1

a

)1+2(

1

a

•

a

2 n-3

)22=(

1

a

)1+2+22

a

23 n-2

=(

1

a

)1+2+…+2n-2

a

2n+1 1

=(

1

a

)2n-1-1

a

2n-1 1

=a(

a1

a

)2n-1，
∴an=a(

a1

a

)2n-1．

（Ⅱ）證明：由a=1知a_n+1=a_n²，
∵a1≤

1

2

，∴a2≤

1

4

，a3≤

1

16

．
∵當k≥1時，ak+2≤a3≤

1

16

．
∴(ak-ak+1)ak+2≤

1

16

(ak-ak+1)=

1

16

(a1-an+1)＜

1

32

；

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，an=

a

2n-1 1

，
因此

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2=

n

k=1

(

a

2k-1 1

-

a

2k 1

)

a

2k+1 1

≤

2n-1

i=1

(

a

i 1

-

a

i+1 1

)

a

2i+2 1

=(1-a1)

a

2 1

2n-1

i=1

a

3i 1

＜(1-a1)

a

2 1

•

a 3 1

1- a 3 1

=

a 5 1

1+a1+ a 2 1

＜

1

3

．

點評：本小題主要考查二次函數、數列、不等式等基礎知識，綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，