Question

已知四棱錐P-ABCD中，點M是PC的中點，點E是AB上的一個動點，且該四棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是直角三角形．
（I）求證：PA∥平面BDM；
（II）若點E是AB的中點，求證：CE⊥平面PDE；
（III）無論點E在何位置，是否均有三棱錐C-PDE的體積為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）連接AC，交BD于點O，連接OM，PE，由三視圖可知，四邊形ABCD為矩形，可證MO∥PA，根據線面平行的判定定理可證
（II）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，AD=PD=1，AB=2，PD⊥CE，則△ADE與△BCE都是等腰直角三角形即∠AED+∠BEC=90°，則CE⊥DE，根據線面垂直的判定定理可證
III）V_P-CDE=V_C-PDE=

1

3

×PD×S△CDE，即可

解答：證明：（I）連接AC，交BD于點O，連接OM，PE
由三視圖可知，四邊形ABCD為矩形
∴O是AC的中點
又∵M是PC的中點
在PAC中，則MO∥PA（2分）
由MO?平面BDM，PA?面BDM（3分）
∴PA∥面BDM（4分）
（II）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，AD=PD=1，AB=2
∵CE?面ABCD，
∴PD⊥CE（6分）
∵E為AB的中點
∴△ADE與△BCE都是等腰直角三角形
∴∠AED+∠BEC=90°
∴CE⊥DE（8分）
∵PD∩DE=D
∴CE⊥面PDE（9分）
III）V_P-CDE=V_C-PDE=

1

3

×PD×S△CDE
∵無論點E在任何位置，△CDE的面積均為定值
即S△CDE=

1

2

•CD•AD=

1

2

×2×1=1（10分）
∴V_C-PDE=

1

3

×1×1=

1

3

（12分）

點評：本題主要考查了線面平行與線面垂直的判定定理的應用，注意線線關系與線面關系的相互轉化，及利用換定點求解三棱錐的體積．