Question

如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過的平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．

（1）求證：⊥面；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

（1）同解析（2）二面角為。

解析:

（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點(diǎn)，所以⊥，

則⊥。              

因?yàn)?img width=25 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/108/80508.gif">⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。

因?yàn)?img width=29 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/123/80523.gif">⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。

設(shè)，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

  

所以

所以         

所以平面           

由∥得∥，故：平面 

(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

同理: 

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則令得

又是平面的一個(gè)法量

              

所以二面角的大小為