Question

(理)已知數列{a_n}中,a₁=1,na_n+1=2(a₁+a₂+…+a_n)(n∈N^*).

(1)求a₂,a₃,a₄;

(2)求數列{a_n}的通項a_n;

(3)設數列{b_n}滿足b₁=,b_n+1=b_n²+b_n,求證:b_n＜1(n≤k).

(文)已知O為坐標原點,點E、F的坐標分別為(-1,0)和(1,0),動點P滿足=4.

(1)求動點P的軌跡C的方程;

(2)過E點作直線與C相交于M、N兩點,且,求直線MN的方程.

Answer 1

(理)解：(1)a₂=2,a₃=3,a₄=4.

(2)na_n+1=2(a₁+a₂+…+a_n),①(n-1)a_n=2(a₁+a₂+…+a_n-1),②①-②得na_n+1-(n-1)a_n=2a_n,

即na_n+1=(n+1)a_n,,

所以a_n=a₁·=n(n≥2).

所以a_n=n(n∈N^*).

(3)由(2)得b₁=,b_n+1=b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0,

所以{b_n}是單調遞增數列,故要證b_n＜1(n≤k)只需證b_k＜1.

若k=1,則b₁=＜1顯然成立,

若k≥2,則b_n+1=b_n²+b_n＜b_nb_n+1+b_n,所以-＞-.

因此,.

所以b_k＜＜1.所以b_n＜1(n≤k).

(文)解：(1)∵=4,

由橢圓的第一定義可知點P的軌跡為橢圓,且2a=4,c=1,∴a²=4,b²=3.

∴所求的橢圓方程為=1.

(2)①當直線MN的斜率不存在時,不滿足題意;

②當直線MN的斜率存在時,設其方程為y=k(x+1),

代入=1化簡得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0.

設兩交點的坐標為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.∵,∴x₁+2x₂=-3.

∴x₂=-3+,x₁=-3-2x₂=.∴.

∴k²=,即k=±,滿足Δ＞0.∴所求的直線MN的方程為y=±(x+1).