Question

【題目】已知圓M：與軸相切．

(1)求的值；

(2)求圓M在軸上截得的弦長；

(3)若點是直線上的動點，過點作直線與圓M相切，為切點，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：(1)先將圓的一般方程化成標準方程，利用直線和圓相切進行求解；(2) 令，得到關于的一元二次方程進行求解；(3)將四邊形的面積的最小值問題轉化為點到直線的的距離進行求解.

試題解析：(1) 　　∵圓M：與軸相切　　

∴　　　∴

(2) 令，則　　∴

　∴

(3)

　∵的最小值等于點到直線的距離，　

∴　∴

∴四邊形面積的最小值為．

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】在平面直角坐標系中，圓的方程為，且圓與軸交于， 兩點，設直線的方程為．

（1）當直線與圓相切時，求直線的方程；

（2）已知直線與圓相交于， 兩點．

（ⅰ）若，求實數的取值范圍；

（ⅱ）直線與直線相交于點，直線，直線，直線的斜率分別為， ， ，

是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，圓心到直線的距離，由直線與圓相切得，由此能求出直線的方程；（2）（i）由題意得： ， ，由此能求出實數的取值范圍；(ii) 與圓 聯立，得： ，由韋達定理求出的坐標，從而得到

，由此能證明存在常數，使得恒成立．

試題解析：（1）解：由題意， ，

∴圓心到直線的距離，

∵直線與圓相切，∴，

∴，∴直線．

（2）解：由題意得： ，∴，

由（1）可知： ，∴，

∴．

（3）證明： ，與圓 聯立，得： ，

∴， ，∴，

同理可得： ， ∵，

∴，即，

∵，∴， 設，

∴，∴， ∴，即，

∴，∴，

∴存在常數，使得恒成立．

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求直線方程、直線與圓的位置關系以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在，注意：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規方法題很難時采取另外的途徑.