Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）如果對所有的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，解不等式得增區間，解不等式得減區間；

（2）不等式恒成立，可以變形為恒成立，因此只要求出的最大值，由最大值小于或等于0可得，也要可變形為，只要求得的最大值即可，這些最值可通過導數知識進行求解．

試題解析：

（1）的定義域為， ，

當時， ，當時， ，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）法一：設，則，

因為，所以.

（i）當時， ， ，所以在上單調遞減，而，

所以對所有的， ，即；

（ii）當時， ，若，則， 單調遞增，

而，所以當時， ，即；

（iii）當時， ， ，所以在單調遞增，而，

所以對所有的， ，即；

綜上， 的取值范圍是.

法二：當時， ，

令，則，

令，則，當時， ，

于是在上為減函數，從而，因此，

于是在上為減函數，所以當時有最大值，

故，即的取值范圍是.