Question

已知橢圓C的中心在圓點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF₁F₁的面積為4，△ABF₂的周長為8．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設點Q的坐標為(1，0)，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意知：，解得 　　∴橢圓的方程為　5分 　　(Ⅱ)假設存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切，則到直線的距離相等， 　　：，： 　　化簡整理得：　9分 　　∵點在橢圓上，∴ 　　解得：或(舍)　11分 　　時，，，∴橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以為圓心的圓相切　13分