Question

設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.
（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

Answer 1

(1)     （2）
【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，以及數形結合的數學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力

(1)解：設點P的坐標為.由題意，有 ①
由，得，
由，可得，代入①并整理得
由于，故.于是，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.
由條件得消去并整理得 ②
由，及，
得.
整理得.而，于是，代入②，
整理得
由，故，因此.
所以.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.
由P在橢圓上，有
因為，，所以，即  ③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.