Question

如圖，在棱長為1的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）求直線B₁D與平面A₁BC₁所成的角；
（2）求點A到面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線B₁D與平面A₁BC₁所成的角．
（2）由

AA1

=（0，0，1），平面A₁BC₁的法向量

n

=（1，-1，1），利用向量法能求出點A到面A₁BC₁的距離．

解答：解：分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD棱長為1，
∴B₁（1，0，1），D（0，1，0），

B1D

=（-1，1，-1），
∵A₁（0，0，1），B（1，0，0），C₁（1，1，1），
∴

A1B

=（1，0，-1），

A1C1

=（1，1，0），
設平面A₁BC₁的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

A1B

=0，

n

•

A1C1

=0，
∴

x-z=0 x+y=0

，解得

n

=（1，-1，1），
設直線B₁D與平面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

B1D

＞|=|

-1-1-1

3 • 3

|=1，
∴直線B₁D與平面A₁BC₁所成的角為90°．
（2）∵

AA1

=（0，0，1），平面A₁BC₁的法向量

n

=（1，-1，1），
∴點A到面A₁BC₁的距離d=

| AA1 • n |

| n |

=

|0+0+1|

3

=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．