Question

（2012•四川）某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統（簡稱系統）A和B，系統A和B在任意時刻發生故障的概率分別為

1

10

和p．
（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為

49

50

，求p的值；
（Ⅱ）設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出“至少有一個系統不發生故障”的對立事件的概率，利用至少有一個系統不發生故障的概率為

49

50

，可求p的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設“至少有一個系統不發生故障”為事件C，則1-P(

.

C

)=1-

1

10

×p=

49

50

∴p=

1

5

；
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

10

)3=

1

1000

；P（ξ=1）=

C

1 3

×(

1

10

)2×(1-

1

10

)=

27

1000

；
P（ξ=2）=

C

2 3

×

1

10

×(1-

1

10

)2=

243

1000

；P（ξ=3）=

C

3 3

(1-

1

10

)3=

729

1000

；
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 1000	27 1000	243 1000	729 1000

數學期望Eξ=0×

1

1000

+1×

27

1000

+2×

243

1000

+3×

729

1000

=

27

10

點評：本題考查概率知識的求解，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．