Question

已知橢圓C：M：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為16
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內部是否存在整點Q（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率e=，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用S_△OPQ=4，可得點Q在與直線OP平行且距離為2的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯立，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：
，解得…（3分）
又因為a²=b²+c²，所以
所以橢圓的方程為…（6分）
（Ⅱ）依題意，直線OP的方程為y=x，…（7分）
因為S_△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2，…（8分）
所以點Q在與直線OP平行且距離為2的直線l上，
設l：y=x+m，則，解得m=±4  …（10分）
當m=4時，由，
消元得41x²+200x＜0，即 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應的y也是整數，此時滿足條件的點Q有4個．
當m=-4時，由對稱性，同理也得滿足條件的點Q有4個．…（13分）
綜上，存在滿足條件的點Q，這樣的點有8個．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．