Question

【題目】f（x）是定義在D上的函數，若存在區間[m，n]D，使函數f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數f（x）是k型函數．給出下列說法：①f（x）=3﹣ 不可能是k型函數； ②若函數y=﹣ x2+x是3型函數，則m=﹣4，n=0；
③設函數f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數，則k的最小值為 ；
④若函數y= （a≠0）是1型函數，則n﹣m的最大值為 ．
下列選項正確的是（ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：對于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣ =1，f（4）=3﹣ =2， ∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是 型函數，
∴①錯誤；
對于②，y=﹣ x2+x是3型函數，即﹣ x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，
∴②正確；
對于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數，則x3+2x2+x=kx有二不等負實數根，
即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等負實數根，
∴ ，解得0＜k＜1，
∴③錯誤；
對于④，y= （a≠0）是1型函數，即（a2+a）x﹣1=a2x2 ， ∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x1﹣x2= = =
= ≤ ，即n﹣m的最大值為 ，∴④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故選：C．
根據題目中的新定義，結合函數與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．