Question

在實數集R上定義運算：
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在R上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若，在的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）（II）.
（III）的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.

解析試題分析：（I）由新定義計算即得，關鍵是理解“新運算”的意義；
（II）根據時，在減函數，得到對于恒成立，
即恒成立，得到.
屬于常規題目，難度不大，主要是注意應用“轉化與化歸思想” .
（III）假定是曲線上的任意兩點，如果存在互相垂直的切線，則有
.因此，只需研究是否成立即可.
試題解析：（I）由題意，              2分
            4分
（II）∵，      6分
當時，在減函數，
∴對于恒成立，即
恒成立，             8分
∵，
∴恒成立，
∴，
∴.                    9分
（III）當時，，
設是曲線上的任意兩點，
∵，              11分
∴，
∴不成立.            12分
∴的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.    13分
考點：新定義，導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性