Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且對于定義域內(nèi)任意的x₁≠x₂；有f（x₁-x₂）=

1+f(x1)f(x2)

f(x2)-f(x1)

，則f（x）為

 

（填“偶函數(shù)”、“奇函數(shù)”）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對定義域內(nèi)任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，同樣存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，根據(jù)條件可得f（x₁-x₂）與f（x₂-x₁）的關(guān)系，即f（x）與f（-x）間的關(guān)系，根據(jù)奇偶函數(shù)定義即可判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)．
因為在定義域內(nèi)，對任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，
且滿足f（x₁-x₂）=

1+f(x1)f(x2)

f(x2)-f(x1)

，
由于函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，-x必與x同時在定義域內(nèi)，
同樣存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且滿足：f（-x）=f（x₂-x₁）=

1+f(x2)f(x1)

f(x1)-f(x2)

，
即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)．
故答案為：奇函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)奇偶性的判斷，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法．