Question

（07年江西卷文）（14分）

設動點到點和的距離分別為和，，

且存在常數，使得．

（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；

（2）如圖，過點的直線與雙曲線的右支交于 兩點．問：是否存在，使

是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解析：（1）在中，

（小于的常數）

故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．

方程為．

（2）方法一：在中，設，，，．

假設為等腰直角三角形，則

由②與③得，

則

由⑤得，

，，

故存在滿足題設條件．

方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得

所以，．

則．①

由，可設，

則，．

則．②

由①②得．③

根據雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設條件．