Question

已知點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）且0＜α＜π
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角；
（2）若

AC

⊥

BC

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的點的坐標寫出要用的向量的坐標，因為向量的模長是已知數值，代入坐標進行運算，得到關于角的關系式，結合同角的三角函數的關系，得到角α的值，從而得到向量夾角的值．
（2）根據所給的向量的坐標和向量垂直的條件，寫出角的三角函數式之間的關系，通過三角變換得到要求的角的余弦值，本題主要解題思想是把兩角之和和兩角之積作為整體來處理．

解答：解：（1）∵|

OA

+

OC

|=

7

∴（2+cosα）²+sin²α=7
∴cosα=

1

2

，又α∈(0，π)
∴α=∠AOC=

π

3

又∵∠AOB=

π

2

∴

OB

與

OC

的夾角為

π

6

（2）∵

AC

=(cosα-2，sinα)

BC

=(cosα，sinα-2)
又∵

AC

⊥

BC

∴cosα+sinα=

1

2

∴2cosαsinα=-

3

4

又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=

7

4

及cosα-sinα＜0
得cosα-sinα=-

7

2

∴cosα=

1- 7

2

÷2=

1- 7

4

點評：本題是一個三角函數同向量結合的問題，是以向量垂直的充要條件為條件，得到三角函數的關系式，是一道綜合題，在高考時可以以選擇和填空形式出現，也可以以解答題形式出現．