Question

已知f（x）=2+log₃x，求函數y=[f（x）]²+f（x²），x∈[

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，9]的最大值與最小值．

Answer 1

分析：將f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化簡為關于log₃x的函數，通過x∈[

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，9]，利用換元法求最值．

解答：解：∵f（x）=2+log₃x
∴y=log₃²x+6log₃x+6
又∵

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≤x≤9，且

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≤x²≤9，
解可得

1

9

≤x≤3，
則有-1≤log₃x≤1
若令log₃x=t，則問題轉化為求函數
g（t）=t²+6t+6，-2≤t≤1的最值．
∵g（t）=t²+6t+6=（t+3）²-3
∴當-2≤t≤1
∴g（t）_max=g（1）=13，g（t）_min=g（1）=-2
所以所求函數的最大值是13，最小值是-2．

點評：此題是個中檔題．本題考查換元法求函數的值域問題，以及對數函數的單調性與特點，在使用換元法時，注意范圍．