Question

（本題滿分14分）
頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過點，過點作拋物線的切線交x軸于點B₁，過點B₁作x軸的垂線交拋物線于點A₁，過點A₁作拋物線的切線交x軸于點B₂，…，過點作拋物線的切線交x軸于點．
（I）求數列{ x_n }，{ y_n}的通項公式；
（II）設，數列{ a_n}的前n項和為T_n．求證：；
（III）設，若對于任意正整數n，不等式…≥成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

（I）由已知得拋物線方程為． ………………………………………2分
則設過點的切線為．
令，故．
又，所以，． ……………………………………………4分
（II）由（1）知．
所以
++1+
) ．……………………………………………6分
由，，
得．
所以))．…………………………7分
從而

，
即．…………………………………………………………………9分
（III）由于，故．
對任意正整數n，不等式成立，
即恒成立．
設，………………………………10分
則．
故==

所以，故遞增．…………………………………………12分
則．
故．…………………………………………………………………14分

略