Question

【題目】已知函數與（其中）在上的單調性正好相反，回答下列問題：

（1）對于，，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）令，兩正實數、滿足，求證：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為，所以（），

①當時，，在上為減函數；

②當時，.

令，得，此時在上為增函數；

令，得，此時在上為減函數；

又因為，則，

①當時，，在上為增函數，由（1）知，可能與單調性相同；

②當時，，

令，得，此時在上為增函數；

令，得，此時在上為減函數.

于是若要與在上的單調性正好相反，

則必須，解得.

∴，. .............................（4分）

所以，函數在上單調遞增，上單調遞減；

函數在上單調遞減，上單調遞增.

∴在區間上：

對于函數有，

又，，

∴.

對于函數有,

又，，，

∴，

∴，

..............................（6分）

當，即時，不等式恒成立；

當，即時，不等式恒成立需滿足：，

∴.

綜上，所求的范圍為..............................（8分）

（2）易得，

由，得，

∴，

∴，

∴............................（11分）

令，設，則，

可知在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

∴...........................（12分）

【命題意圖】本題主要考查不等式恒成立問題的求解，導數在研究函數中的應用，意在考查學生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的綜合能力．