設函數
，其中
.
（1）若
，求
在
的最小值；
（2）如果
在定義域內既有極大值又有極小值，求實數
的取值范圍；
（3）是否存在最小的正整數
，使得當
時，不等式
恒成立.
（1）
；
（2）
；(3) 存在最小的正整數
，使得當
時，不等式
恒成立.
【解析】
試題分析：(1) 由題意易知，
(
)得
（
舍去）
所以當
時，
單調遞減；當
時，單調遞增，則；
（2）由
在定義域內既有極大值又有極小值可轉化為的導函數
在
有兩個不等實根，即
在有兩個不等實根，可求出
的范圍.
(3) 由不等式
，令
即可構造函數
，再利用導數證明
在
即可.
試題解析：（1）由題意知，的定義域為，當
時，由，得（舍去），當時，
，當時，
，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，
∴．
（2）由題意
在有兩個不等實根，即在有兩個不等實根，設
，又對稱軸
，則
，解得．
（3）對于函數
，令函數
，則
，
，所以函數
在
上單調遞增，又
時，恒有
，即
恒成立.取
，則有
恒成立.顯然，存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.
考點：1.利用導數求函數最值；2.利用導數求參數范圍 3.構造函數證明不等式恒成立．
科目：高中數學 來源：2010-2011年浙江省嵊泗中學高二第二學期5月月考文科數學 題型：解答題
（本小題滿分15分）
設函數
，其中，
（1）求函數
的極值和單調區間；；w
（2）已知函數有3個不同的零點
,且
,若對任意的
,
恒成立，求
的取值范圍
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科目：高中數學 來源：2013上海市奉賢區高考一模文科數學試卷（帶解析） 題型：解答題
設函數
，其中
；
（1）若
的最小正周期為
，求的單調增區間；（7分）
（2）若函數的圖象的一條對稱軸為
，求
的值．（7分）
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科目：高中數學 來源：2010年江蘇省常州市奔牛高級中學高考數學三模試卷（解析版） 題型：解答題
，其中|t|＜1，將f（x）的最小值記為g（t），則函數g（t）的單調遞增區間為 ．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省馬鞍山市高三第一次月考文科數學試卷 題型：解答題
設函數
，其中實數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若
在區間
上均為增函數，求a的取值范圍。
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科目：高中數學 來源：2012屆河北省高二下學期期末考試文科數學（A卷） 題型：解答題
設函數
，其中
,
。
（1）若
，求曲線
在
點處的切線方程；
（2）是否存在負數
，使
對一切正數
都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。
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