Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率．以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8，面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的方程為，求證：直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得， ，橢圓的方程為．

(2)首先討論當(dāng)的情況，否則聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合直線的特點(diǎn)整理可得直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓的方程為，焦距為，

由題設(shè)條件知， ， ，

， ，

所以， ，或， （經(jīng)檢驗(yàn)不合題意舍去），

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，可得，

當(dāng)， 時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)， 時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立方程組

消去，得．①

由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，得，可得．

于是方程①可以化簡(jiǎn)為，解得，

將代入方程可得，故直線與曲線有且有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為．