Question

設f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）為其導數，如圖是y=x•f′（x）圖象的一部分，則f（x）的極大值與極小值分別為（ ）

A．f（1）與f（-1）
B．f（-1）與f（1）
C．f（2）與f（-2）
D．f（-2）與f（2）

Answer 1

【答案】分析：依題意，f′（x）=3ax²+2bx+c，于是y=g（x）=x•f′（x）=3ax³+2bx²+cx，由⇒b=0，c=-12a，從而可求得g（x）=3ax³-12ax，由圖知a＞0，繼而可求f（x）的極大值與極小值．
解答：解：∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax³+2bx²+cx，
由圖可知，，即，
解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax³-12ax，由g′（x）=9ax²-12a＞0，結合圖象可知，a＞0．
∴f（x）=ax³-12ax+d，
f′（x）=3ax²-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴當x=-2時，f（x）取到極大值，當x=2時，f（x）取到極小值．
故選D．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查識圖與運算能力，求得f（x）=ax³-12ax+d且a＞0是關鍵，也是難點，屬于中檔題．