Question

（理科）已知函數f（x）=，M是非零常數，關于X的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根，若b、a分別是三個根中的最小根和最大根，則=________．

Answer 1

分析：同一坐標系內作出函數y=f（x）的圖象和直線y=m，因為兩圖象有且僅有三個公共點，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，將它們代入再化簡，即可得到要求值式子的值．
解答：作出函數y=f（x）的圖象如圖，

可得函數f（x）的單調減區間為（-∞，-）和（，π）；單調增區間為（-，）和（π，+∞），
f（x）的極大值為f（）=1，極小值為f（-）=-和f（π）=0
將直線y=m進行平移，可得當m=1時，兩圖象有且僅有三個不同的公共點，
相應地方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根．
令f（x）=1，得x₁=，x₂=，x₃=，所以β=，α=，
∴=•sin=•（-）=
故答案為：
點評：本題以分段函數為例，求方程的最大根和最小根，并且用這個根來求值，著重考查了函數與方程的關系，以及三角函數求值等知識，屬于中檔題．