Question

 

如圖，側棱垂直底面的三棱柱中，，，，是側棱上的動點.

　　　　

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）試求三棱錐的體積取得最大值時的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值為，試求實數的值.

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證法一：∵面，∴，.

又∵，∴四邊形是正方形，

∴.    ………1分

∵，

∴.     ………2分

又∵,  ∴.   ………3分

∵,

∴.    ………4分

證法二：∵面，∴，.

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系. ……1分

則，

，

∴，  …2分

　∴.  …3分

又∵

∴.    …4分

證法三：∵面，∴，.

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系. ……1分

則,

.

　設平面的法向量，

則，解得.

　令，則，    ……3分

∵,    ∴.     ……4分

（Ⅱ）∵，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離

∴,  …5分

　　　　，

　　　令，得（舍去）或，

列表，得

		1
	+	0	－
	遞增	極大值	遞減

∴當時，.    …8分

（Ⅲ）分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則,

，

，.    ……9分

　設平面的法向量，

則，解得,

　令，則.    …10分

　設平面的法向量，

則.

由于，所以解得.

　令，則.   …11分

　設二面角的平面角為，

則有.

　化簡得,解得（舍去）或.

　  所以當時，二面角的平面角的余弦值為.   …13分