Question

（本小題滿分12分）
已知數列的前n項和為 (n∈N*)，且．數列滿足，，，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求數列  的通項公式；
（Ⅱ）求數列  的通項公式；
（Ⅲ）證明：對于 ，．

Answer 1

（Ⅰ）因為 2S_n＝（n＋1）a_n，
所以 2S_n＋1＝（n＋2）a_n＋1．
兩式相減得 2a_n＋1＝（n＋2）a_n＋1－（n＋1）a_n，即 ． …………… 2分
當n≥2時，＝＝．
又a₁＝2滿足上式，故 ＝2n（n∈N*）．  …………………………………… 4分
（Ⅱ）因為 ＝（n≥2），b＝0，b＝2，
故當n≥3時，有 ＝b＝2，
所以 ＝（n－1）（n≥3）．  ……………………………………………… 8分
顯然 b＝0，b＝2 滿足上式，
故 {} 的通項公式為 ＝（n－1）． …………………………………… 10分
（Ⅲ）
當k≥2時，．
故     …………………………………………………… 11分
注意到 b₁＝0，
則 （n∈N*）．… 12分

略