Question

【題目】已知函數f（x）的圖象在[a，b]上連續不斷，定義：

f1（x）=min{f（t）| a≤t≤x}（x∈[a，b]），

f2（x）=max{f（t）| a≤t≤x}（x∈[a，b]）。

其中，min{f（x）| x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值。若存在最小正整數k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”。

（1）若f（x）=sinx，x∈[， ]，請直接寫出f1（x），f2（x）的表達式；

（2）已知函數f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數”，如果是，求出對應的k；如果不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ] (2) 存在k=4

【解析】試題分析: （1）由題意可得：f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ]; （2）由函數f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4],寫出f1（x）和f2（x）的解析式,根據f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，分段列出不等式,求出函數最值代入,可得k的取值范圍,即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數.

試題解析:

（1）由題意可得：f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ].

（2）f1（x）=f2（x）=

f2（x）-f1（x）=

當x∈[-1，1）時，3+2x-x2≤k（x+1），所以k≥3-x，所以k≥4；

當x∈[1，3）時，4≤k（x+1），所以k≥，所以k≥2；

當x∈[3，4]時，（x-1）2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥.

綜上所述，k≥4，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數。