Question

【題目】已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝.

(1)求f(x)的解析式；

(2)判斷f(x)的單調性；

(3)若對任意的t∈R，不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝；(2) f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數； （3）k≤－.

【解析】

（1）當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－＝.即得f(x)的解析式. (2)先分析得到 f(x)在[0，＋∞)上是增函數.又f(x)是奇函數，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數.（3）利用函數的奇偶性和單調性得到k－3t2≤－t2－2t，即2t2－2t－k≥0，解Δ＝4＋8k≤0，即得解.

(1)因為當x≥0時，f(x)＝，

所以當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－＝.

所以f(x)＝

(2)當x≥0時，f(x)＝＝2－，

所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數.

又f(x)是奇函數，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數.

(3)由題知不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0等價于

f(k－3t2)≤f(－t2－2t)，

又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，

所以k－3t2≤－t2－2t，即2t2－2t－k≥0，

即對一切t∈R，恒有2t2－2t－k≥0，

所以Δ＝4＋8k≤0，解得k≤－.