Question

關于二次函數學生甲有以下觀點：①二次函數必有最大值；②二次函數必有最小值；③閉區間上的二次函數必定同時存在最大值，最小值；④對于命題③，最值一定在區間端點取得．你認為學生甲正確的觀點序號是

 

．根據你的判斷試解決下述問題：已知函數f（x）=ax²+（2a-1）x+1在[-

3

2

，2]上的最大值為3，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）二次函數在開區間上可能沒有最大值和最小值，故①②不正確，而④的情況下，若區間中包含對稱軸，則最值不一定在區間端點取得，故④錯，③正確．
（2）首先要討論a的取值情況．當a=0時，f（x）為單減的一次函數，易得a的值；當a≠0時，考慮對稱軸的問題，分情況計算，即可得到答案．

解答：解：（1）二次函數在開區間上可能沒有最大值和最小值，如y=x²在（1，3）上既沒有最大值，也沒有最小值，則①、②均錯誤，
由函數的最值定理，可得③正確，
對于④，其區間若包含對稱軸，則最值不一定在區間端點取得，故④錯，（2分）
（2）當a=0時，f（x）=-x+1在[-

3

2

，2]上的最大值為
f(-

3

2

) =

5

2

≠3不合題意，舍去；（3分）
當a≠0時，
①令f(-

2a-1

2a

) =3得a=-

1

2

，此時拋物線開口向下，對稱軸x=-2，
且-2∉[-

3

2

，2]，故a= -

1

2

不合題意，舍去；（6分）
②令f（2）=3，得a=

1

2

，此時拋物線開口向上，
閉區間的右端點距離對稱軸較遠，故a=

1

2

符合題意；（9分）
③若f(-

3

2

) =3得a=-

2

3

經檢驗符合題意，（12分）
綜上可知：實數a的值為a=

1

2

或a=-

2

3

（13分）

點評：此題主要考查二次函數的單調性和相關性質．