Question

【題目】面對擁堵難題，濟南治堵不舍晝夜.軌道交通1號線已于2019年元旦通車試運行，比原定工期提前8個月，其他各條地鐵線路的建設也正在如火如荼的進行中，完工投入運行后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發車時間間隔為（單位：分鐘），并且.經市場調研測算，地鐵載客量與發車時間間隔相關，當時，地鐵為滿載狀態，載客量為450人；當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）.

（1）求的表達式，并求當發車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量；

（2）若該線路每分鐘的利潤為（單位：元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大.

Answer 1

【答案】（1） ,人；

（2）當發車時間間隔分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元.

【解析】

（1）根據題意，結合題的條件，利用函數類型，利用待定系數法求得結果，將自變量代入解析式，求得對應的函數值；

（2）先求出的解析式，再求出分段函數每一段上的最大值，比較大小，求得最值.

（1）由題意知（為常數 ）

因為 ，得 ．

所以

得 （人）．

（2）由 可得

，

當 時， ，

任取 ，且，則

，

因為，所以，所以 ，

所以 在上為增函數，

最大值為；

當時， ，當時等號成立．

所以當發車時間間隔分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元．