Question

已知函數，且是函數y=f（x）的極值點．
（I）求實數a的值，并確定實數m的取值范圍，使得函數?（x）=f（x）-m有兩個零點；
（II）是否存在這樣的直線l，同時滿足：①l是函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線；  ②l與函數y=g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求實數b的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，∴，∴
得a=1，所以x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．
令f'（x）=0得舍去）．

當x＞0時，
當時，f（x）單調遞減，
當f（x）單調遞增，∴x＞0時，
要使函數?（x）=f（x）-m有兩個零點，即方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，也即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
（1）當b＞0時，m=0或；
（2）當b=0時，；
（3）當b＜0時，．
（II）假設存在，x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
因直線l與函數g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b.，
所以切線l的斜率為，
所以切線l的方程為：即l的方程為：，
得．
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以實數b的取值范圍為：b|-4e²≤b≤-2e²．
分析：（Ⅰ）先求出其導函數，利用x=是函數y=f（x）的極值點對應，求出a的值，進而求出函數f（x）的單調性；函數y=f（x）-m有兩個零點，轉化為函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導函數求出函數y=f（x）的單調區間，畫出草圖，結合圖象即可求出實數m的取值范圍．
（II）利用導函數分別求出兩個函數的切線方程，利用方程相等，對應項系數相等即可求出關于實數b的等式，再借助于其導函數即可求出實數b的取值范圍．（注意范圍限制）．
點評：本題第一問主要研究利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性時，一般結論是：導數大于0對應區間為原函數的遞增區間；導數小于0對應區間為原函數的遞減區間．