Question

【題目】設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知當x∈[0，1]時，f（x）＝（）1﹣x，則

①2是函數f（x）的一個周期；

②函數f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數；

③函數f（x）的最大值是1，最小值是0；

④x＝1是函數f（x）的一個對稱軸；

⑤當x∈（3，4）時，f（x）＝（）x﹣3.

其中所有正確命題的序號是_____.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

①根據f（x+1）＝f（x﹣1），變形為f（x+2）＝f（x），再利用周期的定義判斷.②易知，當x∈[0，1]時，f（x）＝（）1﹣x，是增函數，再利用周期性和奇偶性轉化判斷.③根據②的結論判斷.④根據②的結論判斷.⑤設x∈（3，4）時，則有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.

∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函數f（x）的一個周期，故①正確；

當x∈[0，1]時，f（x）＝（）1﹣x為增函數，因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以當x∈[﹣1，0]時，f（x）為減函數，

再由函數的周期為2，可得（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數，故②正確；

由②得：當x＝2k，k∈Z時，函數取最小值，當x＝2k+1，k∈Z時，函數取最大值1，故③錯誤；

由②和函數是偶函數得x＝k，k∈Z均為函數圖象的對稱軸，故④正確；

設x∈（3，4），則4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（）1﹣（4﹣x）＝（）x﹣3，故⑤正確

故答案為：①②④⑤