Question

（1）（選修4-4坐標系與參數方程）已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t為參數）．設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，則|MN|的最大值為

5

+1

（2）（選修4-5不等式選講）設函數f（x）=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a，b∈R）恒成立，則實數x的取值范圍是

1

2

≤x≤

5

2

．

Answer 1

分析：（1）首先將曲線C化成普通方程，得出它是以P（0，1）為圓心半徑為1的圓，然后將直線L化成普通方程，得出它與x軸的交點M的坐標，最后用兩個點之間的距離公式得出PM的距離，從而得出曲C上一動點N到M的最大距離．
（2）先分離出含有a，b的式子，即

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，問題轉化為求左式的最小值即可．

解答：解：（1）∵曲線C的極坐標方程ρ=2sinθ，化成普通方程：
x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1
∴曲線C表示以點P（0，1）為圓心，半徑為1的圓
∵直L的參數方程是：

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

∴直L的普通方程是：4x+3y-8=0
∴可得L與x軸的交點M坐標為（2，0）
∴PM=

(2-0) 2+(0-1) 2

=

5

由此可得曲C上一動點N到M的最大距離等于

5

+1
故答案為：

5

+1

（2）化簡得：f(x)=

2x-3(x≥2) 1(1＜x＜2) 3-2x(x≤1)

，
其圖象如圖所示，
由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）
得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f(x)
又因為

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2
則有2≥f（x）
結合圖象解不等式：2≥|x-1|+|x-2|
得

1

2

≤x≤

5

2

故答案為：

1

2

≤x≤

5

2

．

點評：（1）本題考查了簡單的曲線的極坐標方程和參數方程化為普通方程、以及圓上動點到圓外一個定點的距離最值的知識點．（2）本題主要考查了不等式的恒成立問題，通常采用分離參數的方法解決，屬于基礎題．