Question

【題目】已知函數 ，a為正常數．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 ，求函數f（x）的單調增區間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

∵ ，令f′（x）＞0，得x＞2，或 ，

∴函數f（x）的單調增區間為 ，（2，+∞）

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數．

當1≤x≤2時， ， ，

令h′（x）≤0，得： 對x∈[1，2]恒成立，

設 ，則 ，

∵1≤x≤2，∴ ，

∴m（x）在[1，2]上遞增，則當x=2時，m（x）有最大值為 ，

∴

當0＜x＜1時， ， ，

令h′（x）≤0，得： ，

設 ，則 ，

∴t（x）在（0，1）上是增函數，

∴t（x）＜t（1）=0，

∴a≥0．

綜上所述，

【解析】（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數研究函數的單調性從及最值，即可求得求a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性，需要了解通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．