Question

（2013•營口二模）在一個二階矩陣M的變換作用下，點A（1，2）變成了點A′（4，5）點B（3，-1）變成了點B′（5，1），那么矩陣M=

2 1 1 2

，圓x+2y-1=0經矩陣M對應的變換后的曲線方程

y=1

．

Answer 1

分析：根據矩陣變換的結構，可把矩陣設成M=

a b c d

的形式，然后根據矩陣變換的性質把點A（1，2）變成了點A′（4，5），點B（3，-1）變成了點B′（5，1），列出一組方程，求解得出M．再設P（x，y）是x+2y-1=0的任一點，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩陣M對應變換作用下新曲線上的對應點，根據矩陣變換求出P與P₁的關系，代入已知曲線求出所求曲線即可．

解答：解：設M=

a b c d

，則

a b c d

1 2

=

4 5

，

a b c d

3 -1

=

5 1

，（4分）
即

a+2b=4 c+2d=5 3a-b=5 3c-d=1

，解得

a=2 b=1 c=1 d=2

（8分）
所以M=

2 1 1 2

．
設P（x，y）是x+2y-1=0上的任一點，
P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩陣 M=

2 1 1 2

對應變換作用下新曲線上的對應點，
則 

x′ y′

=

2 1 1 2

x y

即 

x′=2x+y y′=x+2y

，
所以 

x= 1 3 (2x′-y′) y= 1 3 (2y′-x′)

，
將 

x= 1 3 (2x′-y′) y= 1 3 (2y′-x′)

代入x+2y-1=0，得y′=1．
故答案為：y=1．

點評：本題主要考查矩陣變換的性質，幾種特殊的矩陣變換，以及軌跡方程等有關知識，屬于基礎題．