Question

【題目】已知函數 .
（1）當 時，求 的單調區間；
（2）設 ， 是曲線 圖象上的兩個相異的點，若直線 的斜率 恒成立，求實數 的取值范圍；
（3）設函數 有兩個極值點 ， ，且 ，若 恒成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 或 ，

的單調增區間為 ；單調減區間為 .

（2）解： ，所以 ，

令 在 上單調遞增，

，對 恒成立，

,對 恒成立，

又 ，當 時取等號，

，故 .

（3）解： ，因為函數 有兩個極值點 ，所以 是方程 的兩個根，即，所以是 方程 的兩個根，

所以有 ，

∴

令 ，則 ，設 ，

∴ ，

∴ 在 上單減，∴ ，

故 .

【解析】（1）根據題意求出導函數，利用導函數的正負來判斷f ( x ) 的單調性。（2）根據題意可知構造函數并確定函數的單調性，分離參數即可求出a的取值范圍。（3）由已知利用韋達定理整理f(x1)f(x1)的代數式，整體代換令 x 12= x構造函數 g ( x )=,對其求導利用導函數的正負確定原函數的單調性，即可求出最值進而可求出m的取值范圍。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．