Question

（2009•成都二模）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點P．若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  3+ 3

  2

• B．

  1+ 5

  2

• C．

  5

  2

• D．

  1+ 3

  2

Answer 1

分析：先設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0），因為拋物線為y²=4cx，所以F'為拋物線的焦點，O為FF'的中點，又可得E為FP的中點，所以OE為△PFF'的中位線，得到|PF|=2b，再設P（x，y） 過點F作x軸的垂線，由勾股定理得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率．

解答：解：設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）
∵拋物線為y²=4cx，
∴F'為拋物線的焦點，O為FF'的中點，
∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)
∴E為FP的中點
∴OE為△PFF'的中位線，
∵O為FF'的中點
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圓O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
設P（x，y），則x+c=2a，∴x=2a-c
過點F作x軸的垂線，則點P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
∴4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
∴e²-e-1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

．
故選B．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．