Question

已知n是正整數，數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=-a_n+

1

2

（n-3），數列（na_n）的前n項和為T_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求T_n；
（3）設A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

分析：（1）先把n=1代入S_n=-a_n+

1

2

（n-3）求出a₁=-

1

2

；再利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1得到關于a_n和a_n+1 之間的遞推關系式，得到數列{an-

1

2

}為等比數列，從而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先由（1）求出a_n的通項代入na_n中表示出T_n，求和時利用錯位相減法，化簡得到T_n；
（3）先求出S_n，再利用作差的方法求解．

解答：解：（1）當n=1時，由已知可得，S₁=a₁=-a1+

1

2

(1-3)
解得a₁=-

1

2

…2分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-an+

1

2

（n-3）-[-an-1+

1

2

（n-4）]
解得 a_n=

1

2

an-1+

1

4

，即an-

1

2

═

1

2

(an-1-

1

2

)
因此，數列{an-

1

2

}是首項為-1，公比為

1

2

的等比數列
∴an-

1

2

=-(

1

2

)n-1
∴a_n=

1

2

-

1

2n-1

（II）∵nan=

n

2

-

n

2n-1

∴Tn=（1+2+3+…+n）-（1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

）…6分
令Un=1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

則

1

2

Un=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

．
上面兩式相減：

1

2

Un=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n•

1

2n

，
即Un=4-

n+2

2n-1

∴Tn=

n(n+1)

4

-4+

n+2

2n-1

=

n2+n-16

4

+

n+2

2n-1

（III）∵S_n=-a_n+

n-3

2

=-

1

2

+

1

2n-1

+

n-3

2

=

n-4

2

+

1

2n-1

∴An-Bn=

n2+n-16

2

+

n+2

2n-2

-

(2n+4)(n-4)

2

-

n+2

2n-2

-3
=

-n2+5n-6

2

∵當n=2或n=3時，

-n2+5n-6

2

的值最大，最大值為0，
∴A_n-B_n≤0．
∴A_n≤B_n．

點評：此題主要考查遞推公式在數列的通項公式的求解中的應用，考查等比數列的一般求法，數列求和中的錯位相減法．