Question

抽獎游戲規則如下：一個口袋中裝有完全一樣的8個球，其中4個球上寫有數字“5”，另外4個球上寫有數字“10”．

（1）每次摸出一個球，記下球上的數字后放回，求抽獎者四次摸球數字之和為30的概率；

（2）若抽獎者每交2元錢（抽獎成本）獲得一次抽獎機會，每次摸出4個球，若4個球數字之和為20或40則中一等獎，獎勵價值20元的商品一件；若4個球數字之和為25或35則中二等獎，獎勵價值2元的商品一件；若4個球數字之和為30則不中獎．試求抽獎者收益ξ（獎品價值﹣抽獎成本）的期望．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：(1)求隨機變量的分布列的主要步驟：一是明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；二是求每一個隨機變量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確；（3)求解離散隨機變量分布列和方差，首先要理解問題的關鍵，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相對應的概率，寫成隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算;（4）數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，二項分布的期望和方差：若，則.

試題解析：【解析】
（1）由題意，每次摸球寫有數字“5”的概率為． 1分

四次摸球數字之和為30，只能是兩次摸到寫有數字“5”，另兩次寫有數字“10”． 2分

設為4次摸球中寫有數字“5”的次數，則， 3分

所以抽獎者四次摸球數字之和為30的概率為：． 5分

（2）由題意，抽獎者獲得的收益可取18元、0元、-2元． 6分

從8個球中任取4個球的結果數為，其中恰好有個球寫有數字“5”的結果數為，

所以從8個球中任取4個球，其中恰好個球寫有數字“5”的概率為：

，， 8分

所以， 9分

， 10分

， 11分

因此，隨機變量的分布列為

	18	0	-2

． 13分

所以，(1)抽獎者四次摸球數字之和為30的概率為；(2) 抽獎者收益的期望為元. 14分

考點：(1)求隨機事件發生的概率；（2)求隨機事件的數學期望.