Question

已知動點A，B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不為零的常數）．設點P的軌跡為曲線C．
（1）求點P的軌跡方程；若t=2，點M，N是C上關于原點對稱的兩個動點（M，N不在坐標軸上），點Q(

3

2

，3)，（2）求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）設A（a，0），B（0，b），P（x，y），由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，由|AB|=2能得到點P軌跡方程．
（2）當t=2時，點P的軌跡C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1．設直線方程為y=kx與C方程聯立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，由此能夠導出S有最大值2

2

．

解答：解：（1）設A（a，0），B（0，b），P（x，y），
由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，
由|AB|=2得點P軌跡方程為

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1，
當t=2時，C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1，
（2）設直線方程為y=kx與C方程聯立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，
|MN|=

8 1+k2

3 4+k2

，
點Q到直線的距離為d=

| 3 2 k-3|

1+k2

，
得S=2

1- 4 4 k +k

，當且僅當k=-2時，
S有最大值2

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．