Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)(0＜?＜π，ω＞0)，
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，且它的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將（Ⅰ）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現(xiàn)一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，則正整數(shù)ω的最小值為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，求出函數(shù)的周期，得到ω，且它的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，求出?，即可求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用將（Ⅰ）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現(xiàn)一個(gè)最高點(diǎn)或
最低點(diǎn)，則

π

ω

＜

1

100

，即可求出ω的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)
=2[

3

2

sin(ωx+?)-

1

2

cos(ωx+?)]
=2sin(ωx+?-

π

6

)（3分）
由題意得

2π

ω

=2×

π

2

，所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+?-

π

6

)
又因?yàn)閥=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴sin(?-

π

6

)=

1

2

又∵0＜φ＜π
∴?=

π

3

∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，得到y=2sin(2x-

π

6

)的圖象，
再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到y=2sin(

1

2

x-

π

6

)的圖象．
即g(x)═2sin(

1

2

x-

π

6

)（9分）
令2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，則4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

] (k∈Z)．（12分）
（Ⅲ）若f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現(xiàn)一個(gè)最高點(diǎn)或
最低點(diǎn)，則

π

ω

＜

1

100

，即ω＞100π，又ω為正整數(shù)，
∴ω_min=315．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，求出ω的最小值的條件，是解題的關(guān)鍵．