Question

（2012•宿州一模）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求證：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一點E，使得DE∥平面PAB？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明BC⊥平面PAB，只需要證明BC垂直于平面PAB內的兩條相交直線即可；
（2）延長BA、CD交于Q點，過A作AH⊥PQ，垂足為H，連DH，可證∠AHD是面PCD與面PBA所成的二面角的平面角，求出AH，即可得到面PCD與面PAB所成二面角的正切值；
（3）存在．在BC上取一點F，使BF=1，則DF∥AB，可得DE∥平面PAB．

解答：（1）證明：由題意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延長BA、CD交于Q點，過A作AH⊥PQ，垂足為H，連DH
由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD與面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴AQ=

3

2

，PQ=

3 5

2

，
∴AH=

AQ•PA

PQ

=

3 5

5

∴tan∠AHD=

AD

AH

=

5

3

所以面PCD與面PAB所成二面角的正切值為

5

3

（3）解：存在．
在BC上取一點F，使BF=1，則DF∥AB．由條件知，PC=3

3

，在PC上取點E，使PE=

3

，則EF∥PB，
所以，平面EFD∥平面PAB，
因為DE?平面EFD，
所以DE∥平面PAB

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查存在性問題，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確作出面面角．