Question

已知函數在處取到極值2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）試研究曲線的所有切線與直線垂直的條數；
（Ⅲ）若對任意，均存在，使得，試求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）.          （Ⅱ）當，即或時，滿足條件的切線有2條，當，即時，滿足條件的切線有1條，當，即時，滿足條件的切線不存在．     （Ⅲ）且．  

（I）根據f(0)=2,建立關于c,d的方程，求出c,d的值.
（II）本小題的實質是判定方程根的個數.然后利用二次函數的圖像及性質借助判別式解決即可.
(III)先求f(x)在[1,2]上最小值，然后再求出在[0,1]上的最小值，那么本小題就轉化為
（Ⅰ），                 ……………1分
根據題意得解得．                ……………2分
經檢驗在處取到極值2．∴.  ……3分
（Ⅱ）即，，… 5分
當，即或時，滿足條件的切線有2條，
當，即時，滿足條件的切線有1條，
當，即時，滿足條件的切線不存在．       ……………8分
（Ⅲ）根據題意可知，                 ……………9分
令，得，當時，；當時，，
所以函數的遞減區間為，遞增區間為，
故函數在處取得最小值．………11分
在恒成立，
即在恒成立.設，，由得，由得.∴函數在單調遞增，在單調遞減，∴函數，∴且．