Question

若函數y=f（x）在（0，+∞）上的導函數為f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常數a，b滿足a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是

 

．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．

Answer 1

分析：構造g（x）=

f(x)

x

（x＞0），求導數g′（x），利用利用導數判定g（x）的單調性，可以得出結論．

解答：解：令g（x）=

f(x)

x

（x＞0），則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

（x＞0）；
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即

f(a)

a

＞

f(b)

b

；
∴bf（a）＞af（b）．
故答案為：①．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性以及構造函數來解題的方法，是易錯題．