Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3．
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求點B₁到平面EA₁C₁的距離；
（3）此問僅理科學生做（文科學生不做）求：二面角B 11C₁-E的正弦值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）運用勾股定理判斷BE⊥BC，由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，BE⊥平面BB₁C₁，
（2）運用等體積的方法求解，三棱錐E-A₁B₁C₁的體積=

1

3

×AA1×S△A1B1C1=

2

，V=

1

3

•d•S △A1C1E=

5

d，從而求解出．
（3）確定∠B₁HO為所求二面角的平面角．在直角梯形A₁B₁C₁D₁中．

解答： （1）證明：過B作CD的垂線交CD于F，
則BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，FC=2
在Rt△BFE中，BE=

3

，在Rt△BFC中，BC=

6

在△BCE中因為，BE²+BC²=9=EC²，故BE⊥BC
由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，BE⊥平面BB₁C₁，
（2）三棱錐E-A₁B₁C₁的體積=

1

3

×AA1×S△A1B1C1=

2

在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁=

A1D12+D1C12

=3

2

，
同理，EC₁=

EC2+CC12

=3

2

，EA=

AD2+ED2+AA12

=2

3

因此S △A1C1E=3

5

．
設點B₁到平面EA₁C₁的距離為d，則三棱B₁-EA₁C₁錐的體積，
V=

1

3

•d•S △A1C1E=

5

d，從而

5

d=

2

，d=

10

5

，
（3）過B₁作B₁O⊥平面A₁C₁E于O，則B₁O⊥A₁C₁，
作OH⊥A₁C₁于H，連結B₁H，∴A₁C₁⊥平面B₁OH，
∴A₁C₁⊥B₁H
∴∠B₁HO為所求二面角的平面角．直角梯形A₁B₁C₁D₁中，
A₁C₁=

A1D12+D1C12

=3

2

，
S △A1B 1C1=

1

2

×A₁B₁×A₁D₁=

1

2

A1C₁•B₁H，
∴B₁H=

2

3

所以sin∠B₁HO=

B1O

B1H

=

d

2 3

=

3 10

10

即二面角B₁-A₁C₁-E₁的正弦值為

3 10

10

點評：本題考查了空間點線面的求解，空間角的求解，屬于難題．