Question

【題目】（Ⅰ）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求此拋物線的方程.

（Ⅱ）已知圓： （），把圓上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得一橢圓.求橢圓方程，并證明橢圓離心率是與無(wú)關(guān)的常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意兩種形式，把點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；（2）利用圖像的伸縮變換得到橢圓方程，計(jì)算橢圓離心率是一常數(shù)，故與c無(wú)關(guān)．

試題解析：（Ⅰ）依題意，若焦點(diǎn)在軸，設(shè)拋物線的方程為（）

將代入， ，得，此時(shí)方程為：

若焦點(diǎn)在軸，設(shè)拋物線的方程為（）

將代入， ，得，此時(shí)方程為：

所以，所求拋物線的方程為或

（Ⅱ）設(shè)是圓： 上任一點(diǎn)，則為所求橢圓上經(jīng)過(guò)變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

則有，即代入圓的方程得： ．

故所求的橢圓方程為： ．

又橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為，半焦距為，故離心率與無(wú)關(guān)．