Question

（1）已知一個圓錐母線長為4，母線與高成45°角，求圓錐的底面周長．
（2）已知直線l與平面α成φ，平面α外的點A在直線l上，點B在平面α上，且AB與直線l成θ，
①若φ=60°，θ=45°，求點B的軌跡；
②若任意給定φ和θ，研究點B的軌跡，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圓錐的母線長為4，母線與高成45°角，知高和底面半徑與母線構成一個等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半徑為2

2

，由圓周公式2πR可算出底面周長．
（2）①設l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．建立空間直角坐標系，設|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．設B（x，y，0），則

AC

=（0，-acos60°，-asin60°）．

AB

=（x，y，-asin60°）．所以

AB

•

AC

=-acos60°y+a2sin 260°．又由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos45°，知-acos60°•y+a²sin60°=a，平方整理得

x2

2

+

y2

4

+

3

4

a2y+

3

16

a2=0，由此知點B的軌跡．
②設l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標系，設|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜

π

2

）．設B（x，y，0），則（6分）

AC

=（0，-acosφ，-asinφ）．

AB

=（x，y，-asinφ）．所以

AB

•

AC

=-acosφ•y+a2sin2φ．由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosθ=a•

x2+y2+a2sin2φ

•cosθ．知cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．故當φ=

π

2

時，點B的軌跡為圓；當θ＜φ＜

π

2

時，點B的軌跡為橢圓；當θ=φ＜

π

2

時，點B的軌跡為拋物線；當θ＞φ時，點B的軌跡為雙曲線．

解答：解：（1）∵圓錐的母線長為4，母線與高成45°角，
高和底面半徑與母線構成一個等腰直角三角形，
即高和底面半徑長度一樣，
則由勾股定理可知底面半徑為2

2

，
則由圓周公式2πR可算出底面周長4

2

π；                                                               （2分）
（2）①設l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標系，
設|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．
設B（x，y，0），則

AC

=（0，-acos60°，-asin60°）．

AB

=（x，y，-asin60°）．
∴

AB

•

AC

=-acos60°y+a2sin 260°．
又∵

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos45°=a•

x2+y2+a2sin260°

•cos45°．
∴-acos60°•y+a²sin60°=a

x2+y2+a2sin260°cos45°

．                      （11分）
平方整理得cos²45°•x²+（cos²45°-cos²60°）y²+a²ysin60°sin120°+a²sin²60°（cos²45°-sin²60°）=0．
即

x2

2

+

y2

4

+

3

4

a2y+

3

16

a2=0，
∴點B的軌跡橢圓；                                                                  （4分）
②設l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標系，
設|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜

π

2

）．設B（x，y，0），則（6分）

AC

=（0，-acosφ，-asinφ）．

AB

=（x，y，-asinφ）．
∴

AB

•

AC

=-acosφ•y+a2sin2φ．
又∵

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosθ=a•

x2+y2+a2sin2φ

•cosθ．
∴-acosφ•y+a²sinφ=a

x2+y2+a2sin2φcosθ

．                      （11分）
平方整理得cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．
i．當cos²θ-cos²φ=0，即θ=φ時，上式為拋物線方程；
ii．當cos²θ-cos²φ＞0，即θ＜φ時，上式為橢圓方程；
iii．當cos²θ-cos²φ＜0，即θ＞φ時，上式為雙曲線方程．（14分）
故當φ=

π

2

時，點B的軌跡為圓；
當θ＜φ＜

π

2

時，點B的軌跡為橢圓；
當θ=φ＜

π

2

時，點B的軌跡為拋物線；
當θ＞φ時，點B的軌跡為雙曲線．                                  （16分）

點評：第（1）題考查圓錐的性質和應用，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答．
第（2）題考查圓錐曲線的軌跡的求法和判斷，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．